تفاضل وتكامل[عدل]

مواضيع في التفاضل والتكامل
˂حسبان تفاضلي
˂حسبان تكاملي
˂حسبان المتجهات
˂حسبان متعدد المتغيرات

حساب التفاضل والتكامل أو الحسبان (باللاتينية: Calculus) فرع من فروع الرياضيات يدرس النهايات والاشتقاق والتكامل والمتسلسلات اللانهائية، وهو علم يستخدم لدراسة التغير في الدوال وتحليلها.

ويدخل علم التفاضل والتكامل في العديد من التطبيقات في الهندسة والعلوم المختلفة حيث كثيراً ما يحتاج لدراسة سلوك الدالة والتغير فيها وحل المشاكل التي يعجز علم الجبر عن حلها بسهولة،وعادة مايدرس علم التفاضل والتكامل بعد دراسة أساسيات الجبر والهندسة وحساب المثلثات، ومن الموضوعات الرئيسية في هذا العلم هي النهايات والكميات الموحلة في الصغر.

و ينقسم هذا العلم إلى فرعين هما التفاضل والتكامل ويربط بينهما ما يعرف بالنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. وفي بعض الأحيان قد يستخدم الاسم تفاضل وتكامل في الإشارة إلى أي نظام يستخدم في الحسبان ويستخدم فيه الرموز في التعامل مع المصطلحات والمتغيرات المختلفة مثل تفاضل وتكامل لامبدا والتفاضل والتكامل الاقتراحي والتفاضل والتكامل العلائقي والتفاضل والتكامل المؤكد.

محتويات

[أخف]

1النهايات
2التفاضل والاشتقاق
3التكامل
- 3.1الاشتقاق العكسي
- 3.2التكامل المحدود
4تطبيقات
5تاريخ
6مصادر
7اقرأ أيضا

النهايات[عدل]

مقالة مفصلة: نهاية رياضية

تهتم بدراسة اتصال الدالة وقيمتها عندما يقترب تابعها من قيمة معينة.

بفرض أن الدالة $f(x)\,$ هي دالة حقيقية وأن $c\,$ عدد حقيقي أيضا:

عندئذ يمكن القول:

\lim _{x\to c}f(x)=L

أي أن الدالة $f(x)\,$ تكون قريبة جدا حسبما نريد من $L\,$ عندما تقترب $x\,$ من العدد $c$ ونعبر عن ذلك لغة (أن نهاية $f(x)\,$ , عندما $x\,$ تؤول إلى $c\,$ , هي $L\,$ ).

التفاضل والاشتقاق[عدل]

مقالة مفصلة: تفاضل

يتم اشتقاق التفاضل للدالة $f(x)\,$ من التعريف الرئيسي للنهاية بالعلاقة:

f'(x)={\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}

مشتفة الثابت :

f(x)=a\,

عندما a هو عدد ثابت اذن

f'(x)=0\,

مشتفة الدوال الاسية:

f(x)=x^{r},\,

اذا كان r عدد حقيقي اذن:

f'(x)=rx^{r-1},\,

مثال على ذلك: $f(x)=x^{1/4}$ ,

f'(x)=(1/4)x^{-3/4},\,

مشتفةالدوال الأسيه واللوغاريتمية :

{\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.

{\frac {d}{dx}}a^{x}=\ln(a)a^{x}.

0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5c086b15d3f8c104011b5125089811cd704fa0" style="border: 0px; display: inline-block; height: 5.509ex; vertical-align: -2.005ex; width: 26.028ex;" />

{\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}.

مشتفةالدوال المثلثيه:

{\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).

{\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).

{\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).

مشتقة دوال المثلثات العكسية:

{\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.

{\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.

{\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}.

التكامل[عدل]

في علم الرياضيات ينقسم التكامل إلى جزئين: التكامل المحدود والتكامل غير المحدود. يتعلق التكامل المحدود بحساب الأطوال, المساحات, المنحنيات, مراكز الثقل وما إلى ذلك من الدوال التي لها تطبيقات في شتى العلوم. من جهة أخرى يركز التكامل غير المحدود على إيجاد المعكوس الرياضي للتفاضل ولهذا السبب يسمى أيضا بالاشتقاق العكسي.

الاشتقاق العكسي[عدل]

مقالة مفصلة: اشتقاق عكسي

يعطى التكامل غير المحدود لتابع $f(x)\,$ رياضي بالعلاقة:

\int f(x)dx=F(x)+C

حيث

F'\!(x)={\frac {d}{dx}}F(x)=f(x)

التكامل المحدود[عدل]

مقالة مفصلة: تكامل محدود

يعبر عنه بالشكل الرياضي:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx

تطبيقات[عدل]

لعلم التفاضل والتكامل تطبيقات لا حصر لها في علوم الفيزياء الكلاسيكية والحديثة والكيمياء والهندسة والاقتصاد والحاسوب وحتى في الطب وبعض العلوم السياسية والأدبية. فيما يلي بعض الامثلة:

حساب أطوال المنحنيات والمساحات والحجوم.
حساب مركز الثقل وعزم القصور الذاتي وكمية التحرك والعجلة والسرعة والإزاحة والشغل والطاقة.
حساب التوزيعات والاحتمالات المنتظمة كاحتمالية فيرمي في أشباه الموصلات، وانتشار جراثيم في وسط معين تحت ظروف بيئية معينة.
حل المعادلات التفاضلية وتطبيقاتها في الأنظمة الخطية مثل البندول ودوائر الرنين الكهربائية وأنظمة التحكم الكهروميكانيكية.
اشتقاق الكثير من المعادلات الفيزيائية الحديثة والتي يكون من الصعب إجراؤها تجريبياً.
حساب الثوابت الرياضية إلى درجات عالية من الدقة مثل قيمة ثابت الدائرة $\pi =3.141592653....\,$ ، الثابت الطبيعي $e=2.7182818....\,$ وكذلك الدوال الرياضية المعقدة وإمكانية برمجة هذه العمليات بواسطةالحاسوب.
حساب المساحات في المستوي اسفل منحنيات بعض الدوال حيث يوجد بعض الاشكال غير المنتظمة ولا يوجد علاقة عامة لحسابها إلا بالتكامل وكذلك اثبات بعض قوانين الرياضيات مثل اثبات حجم الكرة والمخروط وكذلك جميع الاجسام الدورانية (اي التي تنتج من دوران منطقة محددة حول محورها )

تاريخ[عدل]

يعتقد البعض ان علم التفاضل قد سبق التكامل كون التكامل عملية عكسية للتفاضل وهذا غير صحيح. فقد أظهرت الأدلة التاريخية استخدام التكامل بطرق غير مباشرة في حساب المساحات والحجوم كما كان في عهد المصريين القدماء في طريقة حساب حجم الهرم الناقص. كما تبعهم اليونانيون في استخدام طريقة الاستنزاف لحساب المساحات والحجوم ثم ازدهرت هذه الطريقة في عهد أرخميدس الذي أدخل فكرة الخبرة المكتسبة والتي تمثل جزءَ أساسيا في علم التكامل. ثم انتقلت طريقة الاستنزاف إلى الصين حيث عملوا جاهدين على إيجاد مساحة الدائرة وحجم الكرة.

كتاب مخطوط عربي في علم الحساب والهندسة والفلك

وفي العصر الإسلامي استطاع ابن الهيثم استخدام طريقة تكاملية لاستنباط الصيغة العامة لمجموع متوالية حسابية من الدرجة الرابعة. ثم ابتدع الصينيون معادلات تتعامل مع التكامل, وفي الهند بدأ الاشتقاق بالظهور على يد هندي رياضي وصف التغيرات المتناهية في الصغر كما توصل اخرون لمتسلسلات شبيهة بمتسلسلة تايلور.

مع ظهور عصر النهضة بدأ الغرب بتعلم وترجمة الكتب القديمة كاليونانية, الحديثة كالعربية وتطوير علوم الرياضيات, الفيزياء, الكيمياء, وبعض العلوم الأخرى وتطور علم التفاضل والتكامل بشكل خاص على يد إسحاق نيوتن.

اقوى مراجعة نهائية ليلة الامتحان في مادة الرياضيات التفاضل والتكامل للصف الثالث الثانوي للعام الدراسي 2017/2018